分数的基本性质及其最大公因数与最小公倍数的求解方法

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分数的基本性质及其最大公因数与最小公倍数的求解方法

2023-10-10 发布于曲周信息社

分数的意义是，一个整体可以被平均分成若干份，每一份可以用分数来表示。
单位“1”是指一个整体，可以用自然数1来表示。例如，一群羊可以看作一个整体，平均分成若干份后，每一份就是羊的一部分，可以用分数来表示。
分数单位是指把单位“1”平均分成若干份后，每一份的大小。例如，45 的分数单位是15，表示把单位“1”平均分成5份后，其中的一份就是15。
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几个数公有的因数叫这些数的公因数，其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数，其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
求法一：列举求同法
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、2 × 12、3 × 12、4 × 12、…
16的倍数有：16、2 × 16、4 × 16、8 × 16、…
最小公倍数是4 × 2 × 2 × 3 = 48 （相同乘 × 不同乘 × ）
求法二：分解质因数法
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍数是：2×2×3×2×2=48 （相同乘× 不同乘× ）
求法三：短除法
最大公因数是4

最小公倍数是48

用短除法求下列各组数的最小公倍数。
12和18 ②30和75 ③6、12和30 ④28、42和84
想：用短除法求几个数的最小公倍数，一般用这几个数的公因数去除这几个数（从最小的公因数开始），一直除到任意两个商的公因数只有1为止。再把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。几个数的最小公倍数用[ ]表示。
《最小公倍数就是外面一圈所有的数连乘》

我们知道，对于两个数来说，最大公因数和最小公倍数是相辅相成的。最大公因数可以通过两数之积除以最小公倍数来得到，最小公倍数可以通过两数之积除以它们的最大公因数来得到。
对于多个数来说，最小公倍数的求法比较复杂。但是，如果这些数之间存在明显的倍数关系，那么我们就可以利用这个倍数关系来求得最小公倍数。
例如，我们知道30×75=2250，6×12×30=2160，28×42×84=9408。因此，30和75的最小公倍数是2250，6、12和30的最小公倍数是2160，而28、42和84的最小公倍数是9408。
因此，我们可以得出结论：对于任意两个正整数 a 和 b，它们的最大公因数为 gcd(a,b)，最小公倍数为 lcm(a,b)，满足以下关系：
gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b
对于多个正整数来说，最小公倍数的求法比较复杂。但是，如果这些数之间存在明显的倍数关系，那么我们就可以利用这个倍数关系来求得最小公倍数。
例如，对于12,24,36这三个数来说，它们的最小公倍数就是它们的所有可能的公共倍数的最小值。因此，我们可以列举出它们的所有可能的公共倍数：
12×1=12
12×2=24
12×3=36
12×4=48
12×5=60
12×6=72
12×7=84
12×8=96
12×9=108
12×10=120
其中最小的公共倍数是 120，因此 lcm(12,24,36)=120。